Tableaux, graphiques, formules (UAA1)
Plan de l'UAA
Tableaux, graphiques, formules
Dans cette UAA, tu vas apprendre à traiter un problème en choisissant l'outil le plus adapté : un tableau de nombres, un graphique, ou une formule.
Sommaire
- Lire un tableau, un graphique, une formule
- Fonction constante
- Construire un tableau et un graphique
- Intersection de deux fonctions
- Puissances et notation scientifique
- Proportionnalité inverse et croissance exponentielle
- Intérêts simples et composés
- Choisir le bon outil
Cette page est en cours de construction : les sections seront complétées progressivement. La section 2 (Fonction constante) est terminée.
Fonction constante — Présentation et objectifs
Fonction constante
Présentation
Une fonction constante est la fonction la plus simple qui existe : elle donne toujours le même résultat, peu importe la valeur que tu lui donnes en entrée.
On la note :
$$f(x) = p$$
où $p$ (une lettre qui se lit "pé") est un nombre fixe, choisi une fois pour toutes.
Objectifs
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- reconnaître une fonction constante à partir de sa formule, d'un tableau de valeurs ou d'un graphique ;
- calculer l'image $f(x)$ d'un nombre $x$ quelconque ;
- construire le tableau de valeurs et le graphique d'une fonction constante ;
- retrouver la valeur de $p$ à partir d'un graphique ou d'un tableau.
Prérequis
- Savoir lire un tableau de nombres et un graphique.
- Savoir ce qu'est une fonction : une "machine" qui associe à chaque nombre $x$ un seul résultat $f(x)$.
Fonction constante — Cours
Définition
$$f(x) = p \quad \text{où } p \text{ est un nombre réel fixe}$$
Quelle que soit la valeur de $x$ que tu choisis, le résultat $f(x)$ est toujours $p$. $x$ n'intervient jamais dans le calcul : c'est ce qui rend cette fonction "constante".
Exemple d'introduction
Imagine un abonnement à une salle de sport qui coûte 30 € par mois, quel que soit le nombre de fois où tu t'y rends. Si $x$ représente le nombre de visites et $f(x)$ le prix à payer :
$$f(x) = 30$$
Que tu y ailles 0 fois ou 20 fois dans le mois, tu payes toujours 30 €.
Tableau de valeurs
Pour $f(x) = 5$ :
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
La ligne du bas ne change jamais : c'est la signature d'une fonction constante.
Graphique
Le graphique d'une fonction constante $f(x) = p$ est toujours une droite horizontale, qui coupe l'axe des $y$ à la hauteur $p$. Regarde le graphique interactif ci-dessous pour t'en convaincre.
À retenir
- $f(x) = p$ : le résultat ne dépend jamais de $x$.
- Le graphique est une droite horizontale.
- La droite coupe l'axe des $y$ (l'axe vertical) exactement en $p$.
- $p$ peut être positif, négatif, ou nul.
Erreurs fréquentes
- Confondre $f(x) = p$ avec $f(x) = x$ (la fonction identité, qui elle dépend de $x$).
- Penser que le graphique est une droite verticale (une droite verticale n'est même pas le graphique d'une fonction).
- Oublier que $p$ peut être négatif : $f(x) = -3$ est aussi une fonction constante.
Fonction constante — Graphique interactif
Utilise le curseur pour changer la valeur de $p$ et observe comment la droite se déplace immédiatement, tout en restant horizontale.
Fonction constante — Exemples résolus
Exemple 1
Soit $f(x) = 7$. Calcule $f(4)$.
Solution : $f(x) = 7$ pour tout $x$, donc $f(4) = 7$.
Exemple 2
Soit $f(x) = -2$. Calcule $f(0)$ et $f(100)$.
Solution : La fonction est constante, donc $f(0) = -2$ et $f(100) = -2$ : le résultat ne change jamais.
Exemple 3
Le graphique d'une fonction constante passe par le point $(5, 8)$. Quelle est la valeur de $p$ ?
Solution : Pour une fonction constante, $f(x) = p$ pour tout $x$. Le point $(5, 8)$ donne directement $p = 8$, donc $f(x) = 8$.
Exemple 4
Complète le tableau de valeurs de $f(x) = -1$ pour $x \in {-3, 0, 4}$.
Solution :
| $x$ | -3 | 0 | 4 |
|---|---|---|---|
| $f(x)$ | -1 | -1 | -1 |
Exemple 5
Un parking facture un forfait unique de 12 € par jour, quel que soit le nombre d'heures de stationnement. Écris la fonction $f(x)$ qui donne le prix payé en fonction du nombre d'heures $x$, puis calcule $f(3)$.
Solution : $f(x) = 12$ (le prix ne dépend pas du nombre d'heures). Donc $f(3) = 12$ €.
Fonction constante — Exercice guidé
Énoncé
Une bibliothèque facture un abonnement annuel de 15 €, qui donne un accès illimité aux livres pendant un an, peu importe le nombre de livres empruntés.
- Écris la fonction $f(x)$ qui donne le prix payé en fonction du nombre de livres empruntés $x$.
- Calcule $f(0)$, $f(5)$ et $f(50)$.
- Représente cette fonction dans un tableau de valeurs pour $x = 0, 5, 10, 50$.
- Décris à quoi ressemble le graphique de cette fonction.
Correction détaillée
1. Le prix ne dépend jamais du nombre de livres empruntés : $f(x) = 15$.
2. Comme la fonction est constante : $f(0) = 15$, $f(5) = 15$, $f(50) = 15$. Le résultat est toujours 15, quel que soit $x$.
3.
| $x$ (livres) | 0 | 5 | 10 | 50 |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ (€) | 15 | 15 | 15 | 15 |
4. Le graphique est une droite horizontale qui coupe l'axe vertical à la hauteur 15.
Fonction constante — Exercices automatiques
Quiz — 10 questions
Fonction constante — Fiche mémo
Fiche mémo — Fonction constante
Définition
$$f(x) = p$$
où $p$ est un nombre réel fixe. Le résultat ne dépend jamais de $x$.
Graphique
Toujours une droite horizontale, qui coupe l'axe des $y$ en $p$.
Méthodes
- Calculer une image : $f(x) = p$, peu importe $x$.
- Retrouver $p$ à partir d'un point du graphique : $p$ est la coordonnée verticale du point.
- Compléter un tableau de valeurs : toutes les valeurs de $f(x)$ sont égales à $p$.
Erreurs fréquentes
- Confondre avec $f(x) = x$ (la fonction identité).
- Oublier que $p$ peut être négatif ou nul.