Géométrie (UAA2)

Théorie

Plan de l'UAA

Géométrie

Objectif de l'UAA : apprendre à représenter dans le plan des objets de l'espace, associer un solide à ses représentations planes, utiliser les patrons, les vues coordonnées, la perspective cavalière, et calculer des longueurs, des aires et des volumes.

Contenu couvert : solides usuels, perspective cavalière, développements/patrons, vues coordonnées, aires et volumes. Pas de statistique, pas de fonctions, pas de probabilités.

Sommaire

  1. Solides
  2. Perspective cavalière
  3. Patrons
  4. Vues coordonnées
  5. Aires
  6. Volumes

À la fin de l'UAA : un mini-test final type examen, une fiche mémo récapitulative et des ressources pour réviser.

Théorie

Solides — Présentation

Solides

Ce qu'il faut savoir faire à l'examen

Processus Ce qu'on attend de toi Exemples de tâches
Connaître Reconnaître, nommer, décrire. Identifier un cylindre, une pyramide, une sphère ; donner faces, arêtes, sommets ; choisir l'unité correcte.
Appliquer Utiliser une méthode entraînée. Calculer le volume d'une cuve cylindrique ; dessiner un patron ; faire une perspective cavalière.
Transférer Choisir soi-même la méthode dans une situation réelle. Calculer le prix de remplissage d'une cuve, associer vue de face/vue de dessus/patron, vérifier si un résultat est plausible.
Théorie

Solides — Cours

Vocabulaire de base

Un solide est un objet en trois dimensions : longueur, largeur/profondeur, hauteur.

Une face est une surface plane ou courbe qui limite le solide.

Une arête est un segment où deux faces se rencontrent.

Un sommet est un point où plusieurs arêtes se rencontrent.

Les solides à connaître

Solide Type Faces / surface À retenir
Cube Polyèdre 6 faces carrées Toutes les arêtes ont la même longueur.
Parallélépipède rectangle Polyèdre 6 faces rectangulaires Boîte, brique, carton.
Prisme Polyèdre 2 bases identiques + faces latérales Les bases sont parallèles.
Pyramide Polyèdre 1 base + faces triangulaires Les faces latérales se rejoignent en un sommet.
Cylindre Non-polyèdre 2 disques + surface latérale courbe Boîte de conserve, cuve.
Cône Non-polyèdre 1 disque + surface latérale courbe Base circulaire et sommet.
Sphère Non-polyèdre Surface courbe uniquement Balle, globe.

Piège fréquent : un cylindre, un cône et une sphère ne sont pas des polyèdres, car ils possèdent des surfaces courbes.

Les unités : longueurs, aires, volumes

Grandeur Unité Exemples Conversion importante
Longueur m, cm, mm rayon, diamètre, hauteur 1 m = 100 cm
Aire m², cm² surface à peindre, surface d'un patron 1 m² = 10 000 cm²
Volume m³, cm³, L contenance d'une cuve 1 m³ = 1000 L ; 1 L = 1 dm³

Piège majeur : ne mélange jamais cm et m dans une même formule. Convertis tout dans la même unité avant de calculer.

Exemple

Solides — Exemples résolus

Exemple corrigé 1 — identifier un solide

Énoncé : Un objet possède deux bases circulaires identiques et parallèles, reliées par une surface courbe. Quel est ce solide ?

Correction :

  1. Bases circulaires : ce n'est pas un prisme à base polygonale.
  2. Deux bases parallèles : ce n'est pas un cône, qui n'a qu'une base.
  3. Surface latérale courbe : ce n'est pas un polyèdre.

Réponse : c'est un cylindre.

Exercice

Solides — Exercices

Exercice — connaître

Pour chaque description, indique le solide :

  1. Une seule base circulaire et un sommet.
  2. Une seule surface courbe, aucun sommet, aucune arête.
  3. Deux bases triangulaires parallèles et trois faces rectangulaires.
  4. Une base carrée et quatre faces triangulaires.

Exercice 1 — connaître

Donne le nom du solide :

  1. deux bases circulaires parallèles ;
  2. une base circulaire et un sommet ;
  3. six faces rectangulaires ;
  4. une surface courbe unique.

Correction : a) cylindre ; b) cône ; c) parallélépipède rectangle ; d) sphère.

Exercice 2 — connaître

Explique la différence entre un polyèdre et un non-polyèdre.

Correction : Un polyèdre est limité uniquement par des faces planes. Un non-polyèdre possède au moins une surface courbe. Exemple : cube = polyèdre ; cylindre = non-polyèdre.

Exercice 3 — connaître

Dans quelle unité exprime-t-on une aire ? un volume ? une longueur ?

Correction : Longueur : m, cm, mm. Aire : m², cm². Volume : m³, cm³, L.

Quiz

Quiz — 3 questions

Théorie

Perspective cavalière — Présentation

Perspective cavalière

La perspective cavalière est une façon de représenter un solide 3D sur une feuille 2D. Elle garde la face avant en vraie grandeur. Les arêtes qui partent vers la profondeur sont tracées inclinées, souvent à 45°, et parfois réduites.

Théorie

Perspective cavalière — Cours

Vocabulaire

  • Plan frontal : face dessinée de face, en vraie grandeur.
  • Fuyantes : arêtes qui partent vers l'arrière.
  • Coefficient de réduction : nombre qui réduit la longueur des fuyantes, souvent 1/2.
  • Arêtes cachées : arêtes non visibles, dessinées en pointillés.

face frontale en vraie grandeur fuyantes arêtes cachées

Méthode : dessiner un parallélépipède rectangle en perspective cavalière

  1. Dessiner la face avant en vraie grandeur.
  2. Depuis trois sommets visibles, tracer des fuyantes parallèles, souvent à 45°.
  3. Réduire la profondeur si demandé, par exemple profondeur × 1/2.
  4. Relier les extrémités des fuyantes.
  5. Mettre les arêtes cachées en pointillés.

Pièges fréquents : les angles ne sont pas toujours conservés ; seules les longueurs dans le plan frontal sont en vraie grandeur. Les arêtes parallèles dans le solide restent parallèles sur le dessin.

Quiz

Quiz — 2 questions

Théorie

Patrons — Présentation

Patrons

Un patron ou développement est une figure plane que l'on peut découper et plier pour reconstituer un solide.

Théorie

Patrons — Cours

Patrons à connaître

Solide Patron
Cube 6 carrés identiques.
Parallélépipède rectangle 6 rectangles, opposés deux à deux identiques.
Prisme droit 2 bases identiques + rectangles latéraux.
Pyramide 1 base + triangles autour de la base.
Cylindre 2 disques + 1 rectangle dont une dimension est le périmètre du disque.
Cône 1 disque + 1 secteur circulaire.
Exemple

Patrons — Exemples résolus

Exemple corrigé 2 — patron d'un cylindre

Énoncé : Un cylindre a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm. Quelles sont les dimensions du rectangle dans son patron ?

Correction :

Le patron d'un cylindre contient deux disques et un rectangle.

La hauteur du rectangle est la hauteur du cylindre : $10$ cm.

La longueur du rectangle est le périmètre du disque : $2\pi r = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi \approx 25{,}1$ cm.

Réponse : rectangle de 10 cm sur environ 25,1 cm.

Exercice

Patrons — Exercices

Exercice 7 — appliquer

Un cylindre a un rayon de 3 cm et une hauteur de 8 cm. Donne les dimensions du rectangle de son patron.

Correction : Rectangle du patron : hauteur = 8 cm ; longueur = périmètre du disque = $2\pi r = 2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18{,}8$ cm.

Quiz

Quiz — 2 questions

Théorie

Vues coordonnées — Présentation

Vues coordonnées

Les vues coordonnées sont les projections orthogonales d'un objet : vue de face, vue de dessus, vue de côté/profil. Dans ces vues, les dimensions sont représentées en vraie grandeur sur le plan choisi.

Théorie

Vues coordonnées — Cours

Les trois vues

Vue Ce qu'on voit Exemple pour un cylindre horizontal
Vue de face largeur × hauteur un cercle ou un rectangle selon l'orientation
Vue de dessus longueur × profondeur souvent un rectangle
Vue de profil profondeur × hauteur un cercle si on regarde la base

Méthode pour associer un solide à ses vues

  1. Repérer la forme générale : boîte, cylindre, pyramide, cône...
  2. Chercher les faces visibles dans chaque direction.
  3. Comparer les dimensions : hauteur, largeur, profondeur.
  4. Vérifier si la vue contient des cercles, rectangles, triangles.
  5. Écarter les vues impossibles.
Théorie

Aires — Présentation

Aires

Cette leçon rassemble les formules d'aires planes et d'aires totales de solides, ainsi que des exemples et exercices d'application.

Théorie

Aires — Cours

Aires planes utiles

Figure Formule Signification
Rectangle $A = L \times l$ longueur × largeur
Carré $A = c^2$ côté × côté
Triangle $A = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$ moitié du rectangle correspondant
Disque $A = \pi r^2$ r = rayon
Cercle : périmètre $P = 2\pi r = \pi D$ D = diamètre

Aires totales courantes

Solide Aire totale À comprendre
Cube $A = 6c^2$ 6 faces carrées
Parallélépipède rectangle $A = 2(Ll + Lh + lh)$ faces opposées identiques
Cylindre $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ 2 disques + rectangle enroulé
Sphère $A = 4\pi r^2$ surface courbe complète
Exemple

Aires — Exemples résolus

Exemple corrigé 6 — surface d'un cylindre fermé

Énoncé : Une boîte cylindrique fermée a un rayon de 6 cm et une hauteur de 15 cm. Calcule l'aire totale.

Correction :

Aire totale d'un cylindre fermé : $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

Aire des deux bases : $2\pi \times 6^2 = 72\pi$

Aire latérale : $2\pi \times 6 \times 15 = 180\pi$

Total : $252\pi \approx 791{,}7$ cm²

Réponse : environ 791,7 cm².

Exercice

Aires — Exercices

Exercice 6 — appliquer

Calcule l'aire totale d'un cube de côté 4 cm.

Correction : Cube : 6 faces carrées. $A = 6c^2 = 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96$ cm².

Exercice 8 — transférer

Une entreprise veut peindre une cuve cylindrique fermée de rayon 0,5 m et de longueur 3 m. Un pot de peinture couvre 4 m². Combien de pots faut-il acheter ?

Correction :

Cuve fermée = cylindre fermé. $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

$A = 2\pi \times 0{,}5^2 + 2\pi \times 0{,}5 \times 3 = 0{,}5\pi + 3\pi = 3{,}5\pi \approx 11{,}0$ m².

Un pot couvre 4 m² : $11{,}0 / 4 = 2{,}75$. Il faut acheter 3 pots, car on ne peut pas acheter 2,75 pots.

Quiz

Quiz — 3 questions

Théorie

Volumes — Présentation

Volumes

Cette leçon rassemble les formules de volumes des solides usuels, des exemples résolus, des exercices d'application et un problème de transfert (facture de mazout).

Théorie

Volumes — Cours

Volumes

Solide Volume Remarque
Cube $V = c^3$ c = côté
Parallélépipède rectangle $V = L \times l \times h$ longueur × largeur × hauteur
Prisme $V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$ fonctionne pour tout prisme droit
Cylindre $V = \pi r^2 h$ h = longueur/hauteur du cylindre
Pyramide $V = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$ hauteur perpendiculaire à la base
Cône $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ un tiers du cylindre correspondant
Sphère $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ r = rayon
Exemple

Volumes — Exemples résolus

Exemple corrigé 3 — volume d'une cuve cylindrique

Énoncé : Une cuve cylindrique horizontale mesure 2 m de long. Son diamètre est 1,2 m. On la remplit à 95 %. Combien de litres contient-elle ?

Correction :

  1. Identifier le solide : cylindre.
  2. Formule : $V = \pi r^2 h$
  3. Rayon : diamètre / 2 = 1,2 / 2 = 0,6 m.
  4. Volume total : $V = \pi \times 0{,}6^2 \times 2 = \pi \times 0{,}36 \times 2 = 0{,}72\pi \approx 2{,}262$ m³.
  5. Remplissage à 95 % : $2{,}262 \times 0{,}95 \approx 2{,}149$ m³.
  6. Conversion en litres : $2{,}149 \text{ m}^3 \times 1000 \approx 2149$ L.

Réponse : environ 2149 litres.

Exemple corrigé 4 — volume d'un cône

Énoncé : Un cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 12 cm. Calcule son volume.

Correction :

Formule : $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$

Calcul : $V = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 12}{3} = \dfrac{\pi \times 9 \times 12}{3} = 36\pi \approx 113{,}1$ cm³.

Réponse : environ 113,1 cm³.

Exemple corrigé 5 — volume d'une sphère

Énoncé : Une boule a un rayon de 5 cm. Calcule son volume.

Correction :

Formule : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Calcul : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 5^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 125 \approx 523{,}6$ cm³.

Réponse : environ 523,6 cm³.

Exemple

Volumes — Problème de transfert

Choisir la bonne méthode (problèmes de transfert)

Pour résoudre un problème contextualisé :

  1. Lire la question finale : que demande-t-on ? longueur, aire, volume, prix ?
  2. Identifier le solide ou l'assemblage de solides.
  3. Relever les données utiles et convertir les unités.
  4. Choisir la formule.
  5. Calculer étape par étape.
  6. Donner une phrase-réponse avec l'unité.
  7. Vérifier si le résultat est plausible.

Exemple corrigé 7 — facture de mazout

Énoncé : Une cuve cylindrique de longueur 2 m et de diamètre 1,2 m est remplie à 95 %. Le prix est de 0,7133 €/L si la commande est inférieure à 2000 L et de 0,6848 €/L si elle dépasse 2000 L. Quel est le prix approximatif ?

Correction :

On reprend le volume trouvé plus haut : environ 2149 L.

Comme 2149 L > 2000 L, on utilise le prix de 0,6848 €/L.

Prix : $2149 \times 0{,}6848 \approx 1471{,}6$ €.

Réponse : la facture sera d'environ 1471,6 €.

Exercice

Volumes — Exercices

Exercice 4 — appliquer

Calcule le volume d'un parallélépipède rectangle de dimensions 8 cm, 5 cm et 3 cm.

Correction : $V = L \times l \times h = 8 \times 5 \times 3 = 120$ cm³.

Exercice 5 — appliquer

Calcule le volume d'un cylindre de rayon 2 m et de hauteur 7 m.

Correction : $V = \pi r^2 h = \pi \times 2^2 \times 7 = 28\pi \approx 88{,}0$ m³.

Exercice 9 — transférer

Une pyramide à base carrée a une base de côté 6 cm et une hauteur de 10 cm. Calcule son volume et explique pourquoi on divise par 3.

Correction :

Aire de la base : $6 \times 6 = 36$ cm².

Volume : $V = \dfrac{A_{base} \times h}{3} = \dfrac{36 \times 10}{3} = 120$ cm³.

On divise par 3 car une pyramide occupe un tiers du volume du prisme de même base et même hauteur.

Exercice 10 — transférer

Un objet est composé d'un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 6 cm. Calcule le volume total.

Correction :

Cylindre : $V = \pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi$.

Cône : $V = \dfrac{\pi \times 4^2 \times 6}{3} = 32\pi$.

Total : $192\pi \approx 603{,}2$ cm³.

Quiz

Quiz — 3 questions

Mini-test

Mini-test final — Géométrie

Mini-test final type examen

Consigne : toutes les réponses doivent être justifiées. Une réponse numérique sans méthode peut être refusée.

Question 1 — Connaître

Complète le tableau.

Solide Polyèdre ou non-polyèdre ? Une caractéristique
Cylindre
Pyramide
Sphère
Prisme

Question 2 — Appliquer

Une cuve cylindrique a une longueur de 1,8 m et un diamètre de 1 m.

  1. Calcule son volume en m³.
  2. Convertis ce volume en litres.
  3. Si elle est remplie à 90 %, combien de litres contient-elle ?

Question 3 — Appliquer

Un cube a une arête de 7 cm. Calcule son volume et son aire totale.

Question 4 — Transférer

Une citerne est composée d'un cylindre de rayon 0,8 m et de longueur 2,5 m. Elle doit être peinte entièrement. Un pot couvre 5 m² et coûte 28 €. Calcule le coût minimum de peinture à prévoir.

Question 5 — Représentation

Explique comment construire la perspective cavalière d'un parallélépipède rectangle. Ta réponse doit mentionner la face frontale, les fuyantes, le coefficient de réduction et les arêtes cachées.

Correction du mini-test

Question 1

Cylindre : non-polyèdre, deux bases circulaires et surface courbe.

Pyramide : polyèdre, une base et des faces triangulaires.

Sphère : non-polyèdre, surface courbe unique.

Prisme : polyèdre, deux bases identiques et parallèles.

Question 2

Rayon : 1 / 2 = 0,5 m.

Volume : $V = \pi r^2 h = \pi \times 0{,}5^2 \times 1{,}8 = 0{,}45\pi \approx 1{,}4$ m³.

En litres : $1{,}4 \times 1000 \approx 1413{,}7$ L.

À 90 % : $1413{,}7 \times 0{,}9 \approx 1272{,}3$ L.

Question 3

Volume : $V = 7^3 = 343$ cm³.

Aire totale : $A = 6 \times 7^2 = 6 \times 49 = 294$ cm².

Question 4

Aire cylindre fermé : $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$.

$A = 2\pi \times 0{,}8^2 + 2\pi \times 0{,}8 \times 2{,}5 = 1{,}28\pi + 4\pi = 5{,}28\pi \approx 16{,}6$ m².

Nombre de pots : $16{,}6 / 5 = 3{,}32$, donc 4 pots.

Coût : $4 \times 28 = 112$ €.

Question 5

On dessine d'abord la face frontale en vraie grandeur. Depuis les sommets, on trace des fuyantes parallèles, souvent inclinées à 45°. Si un coefficient de réduction est donné, on réduit la longueur des fuyantes. On relie les extrémités pour former la face arrière. Les arêtes cachées sont tracées en pointillés.

À retenir

Fiche mémo — Géométrie

Fiche mémo — Géométrie

Définitions

  • Solide : objet en 3 dimensions.
  • Polyèdre : solide limité uniquement par des faces planes.
  • Patron : développement à plat d'un solide.
  • Perspective cavalière : représentation plane d'un solide avec face frontale en vraie grandeur et fuyantes parallèles.
  • Vues coordonnées : vues de face, de dessus et de profil.

Formules essentielles

Objet Formule
Disque $A = \pi r^2$
Cercle $P = 2\pi r = \pi D$
Parallélépipède rectangle $V = L \times l \times h$
Prisme $V = \text{aire de base} \times \text{hauteur}$
Cylindre $V = \pi r^2 h$
Pyramide $V = \text{aire de base} \times \text{hauteur} / 3$
Cône $V = \pi r^2 h / 3$
Sphère $V = 4\pi r^3 / 3$ ; $A = 4\pi r^2$

Procédure examen

  1. Identifier le solide.
  2. Repérer les données utiles.
  3. Convertir les unités.
  4. Choisir la formule.
  5. Calculer proprement.
  6. Arrondir si nécessaire.
  7. Écrire une phrase-réponse avec unité.
  8. Vérifier la plausibilité du résultat.
Ressources

Ressources — Géométrie

Ressources pour réviser